Producto vectorial (explicado)

Varias operaciones matemáticas resultan un poco complicadas de entender. Los productos vectoriales son unos de estos problemas matemáticos, por lo que en esta oportunidad en Procrastina Fácil te hablaremos y explicaremos todo lo que debes saber acerca del producto vectorial.

Definición

El producto vectorial es una operación binaria la cual resulta de la multiplicación entre dos vectores que da como resultado un tercer vector que es perpendicular a los vectores originales, cuyo sentido varía de acuerdo al ángulo formado entre estos dos vectores. También recibe el nombre de Producto vectorial Gibbs o Producto Cruz. Se representa con la siguiente formula:

producto vectorial formula
que es el producto vectorial

Uso del producto vectorial

El producto vectorial tiene diversas utilidades. Es una operación que es aplicada con frecuencia para resolver problemas matemáticos, físicos o de ingeniería. Permite saber la magnitud resultante al aplicar dos fuerzas en un espacio tridimensional en un mismo objeto. Además de esto no solo permite saber la magnitud de dicha fuerza, sino la dirección de la misma. Es usado frecuentemente en la electrónica, ya que ayuda a estimar el movimiento de los electrones y corrientes en sentidos opuestos. Igualmente, se suele usar de manera recurrente en la hidráulica, cuando chocan diversas corrientes de agua.

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Características del producto vectorial

Partiendo que el resultado es otro vector, se define su módulo, dirección y sentido.

El módulo que se obtiene como resultado al obtener el producto vectorial de vector A x vector B, es igual a la multiplicación del módulo de A por el módulo de B.

Por su parte, la dirección es perpendicular al plano que definen ambos vectores.

Por último, el sentido quedará definido por alguna de las siguientes reglas:

  • ​Regla del sacacorchos: El sentido es el mismo sentido de avance de un sacacorchos que gira desde A hasta B por el camino más corto.
  • Regla de la mano derecha: Puedes utilizar la palma de tu mano, orientándola desde A hasta B por el camino más corto. El dedo pulgar determina el sentido del producto vectorial. Otra opción es utilizar tu mano derecha y los dedos índice en el vector A, medio en el vector B y el pulgar en el resultado de A x B.
Características del producto vectorial

Propiedades del producto vectorial

  • Si dos vectores son perpendiculares entre sí, el módulo de su producto vectorial será igual al producto de sus módulos, es decir, sen 90° = 1.
  • El producto vectorial de dos vectores paralelos es igual a cero. Por lo tanto, será nulo el producto vectorial de un vector por sí mismo o por su opuesto (sen 0° = 0 y sen 180° = 0).
  • El producto vectorial no tiene la propiedad conmutativa, es decir, en esta multiplicación no se aplican los mismos criterios que con los números.
  • Posee la propiedad anticonmutativa, ya que el vector resultante, aunque tiene el mismo módulo, su dirección es la opuesta.
  • El producto vectorial cumple la propiedad distributiva.

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Ejercicio

Se dan los vectores A (-2, -1, 3) y B (5, -1, -2), determinar el producto vectorial.

Para obtener un producto vectorial se forma un determinante, i, j y k se colocan en la primera fila, los cuales son los vectores unitarios de los ejes X, Y y Z. Debajo se colocan los componentes de las ordenadas.  

ejemplo de producto vectorial

Para hallar los determinantes de i, j y k se tapan la primera fila y la columna correspondiente a cada uno de ellos como se logra apreciar en la imagen.

ejemplo de producto vectorial 3
ejemplo de producto vectorial 3
ejemplo de producto vectorial 3

Luego se procede a multiplicar las coordenadas en X y restas los resultados entre sí, tal y como se muestra en el ejemplo:

ejemplo de producto vectorial 4

Posteriormente se siguen realizando las operaciones matemáticas hasta obtener el producto vectorial.

ejemplo de producto vectorial 5

Ya por último se realiza la gráfica.

producto vectorial grafica
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